Bentuknya
∫∫v∫ f(x,y) f(x,y,z)dx dy dz
F(x,y,k) didefinisikan pada ruang tertutup V dibagi atas paralelepipedium tegak lurus oleh bidang-bidanng sejajar bidang koordinat.Paralelepipedium dalam V kita beri nomor 1 samai n .Paralelepipedium ke I mempunyai volume ∆i V
Integral lipat tiga didapat dari penjumlahan limit dari jumlah
∭_v▒〖f(x,y,z)dx dy dz=〗 lim┬(n→∞)∑_(i=1)^Mf(xi*,yi*,zi*) ∆i V
Jika n ∞,sedang diagonal maksimum dari ∆i V 0 .Titik(xi*,yi*,zi*) Dipilih sembarang dalam paralelepipedium ke i.
Adanya suatu limit yang unik dapat ditunjukkan,jika f(x,y,z) kontinu di V
Teori sederhana berlaku untuk ruang tertutup V yang dilukiskan sebagai
X1 ≤ X ≤ X2 ,y1(x) < y < y2(x)
Z1(x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)
Untuk ruang tertutup ini,Integral lipat tiga dapat disingkat menjadi integral berulang
∫▒∫_v▒∫▒〖(x,y,z)dx dy dz= ∫_(x_1)^(x_2)▒∫_(y_1 (x))^(y_2 (x))▒∫_(z_1 (x))^(z_2 (x,y))▒〖f(x,y,z)dz dy dx〗〗
Minggu, 23 Mei 2010
INTERGAL LIPAT 2
Pandang suatu fungsi z=f(x,y) yang kontinu pada daerah hingga R dibidang XOY.Misalkan daerah ini dibagi atas n buah sub (bagian) daerah daerah R₁,R₂…Rn masing-masing luasnya ∆₁A,∆2A₂…∆nA.
Dalam setiap sub daerah pilih suatu titik Pk (Xk,Yk ) dan bentuk jumlah
∑_(k=1)^n▒〖f(X_k,Y_k)∆_k A=f(x_1,y_1)∆_1 A+f(x_2,y_2)∆_2 A+⋯+⋯+f(x_n,y_n)∆_n A 〗
Sekarang tentukan diameter dari sub daerah yang merupakan jark terbesar antara 2 titik sembarang di dalam atau pada batas sub daerah,dengan λn adalah diameter maksimum dari sub daerah.
Misalkan banyaknya sub daerah makin besar diartikan n ∞ maka λn 0
Maka integral lipat dua dari fungsi f(x,y)atas daerah R didfinisikan sebagai
∬▒〖f(x,y)dA=〗 lim┬(n→∞)∑_(k=1)^n▒f(xk,yk ) ∆k A
Bila z = f(x,y) non negative atas daerah R,sebagai dalam gambar 6.2 diatas,integral lipat dua(2)bisa diartikan sebagai volume .Sembarang suku f(Xk,Yk ) ∆k A dari (1) memberikan volume dari kolom vertical yang alasnya ∆k A dan tingginya adalah zk.yang diukur sepanjang vertical dari titik Pk yang dipilih sampai permulaan z=f{(x,y)}
Jadi persamaan (1) adalah volume-volume pendekatan kolom vertical yang alasnya Rk dibawah dan atasnya adalah permukaan yang proyeksinya Rk.Persamaan (2) adalah ukuran dari volume dari sub-sub daerah.
Misalkan f(x,y)didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xy(gambar 9.1).Bagilah R dalam n daerah bagian ∆Rk yang masing-masing luasnya ∆Ak,k=1,2,…,n.Misalkan (ε_k,nk)adalah suatu titik pada ∆Rk.Bentuklah jumlah
∑_(k=1)^n▒f(ε_k n_k) ∆Ak
Perhatikanlah
lim┬(n→∞)∑_(k=1)^n▒〖f(ε_k n_k) 〗 ∆Ak
Dimana limit ini diambil agar banyaknya daerah bagian nmembesar tanpa batas sehingga dimensi linier terbesar dari setiap Rk mendekati nol.Jika limit ini ada,dinyatakan dengan
∫_R▒∫▒f(x,y)dA
Dan dinamakan integral lipat dua (integral ganda/double integral) dari f(x,y) pada daerah R.
Dapat dibuktikan bahwa limit ini ada jika f(x,y) kontinu (atau kontinu bagian demi bagian) pada R.
PEMAKAIAN INTEGRAL LIPAT DUA
Menghitung volume antara permukaan z=f(x,y) dan bidang xy
RUMUS
V=∫_R▒∫▒〖f(x,y)dx dy〗
Menghitung luas daerah di bidang xy dimana f(x,y)=1
RUMUS
L=∫_R▒∫▒〖dx dy〗
Menghitung massa
F dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas)
RUMUS
M=∫_R▒∫▒〖f(x,y)dx dy〗
Menghitung pusat massa
F=massa jenis
M=massa dari pelat tipis dan
(x,y)=pusat massa di R
Maka:
M x= ∫_R▒〖∫▒x f(x,y)〗 dx dy
My=∫_R▒〖∫▒y f(x,y)〗 dx dy
Menghitung Momn Inersia
Momen inersia dari plat tipis terhadap sb.x dan sb.y diberikan dengan
Ix=∫_R▒∫▒〖y^2 f(x,y)dx dy ; 〗
Iy=∫_R▒∫▒〖x^2 f(x,y)dx dy ; 〗
Dalam setiap sub daerah pilih suatu titik Pk (Xk,Yk ) dan bentuk jumlah
∑_(k=1)^n▒〖f(X_k,Y_k)∆_k A=f(x_1,y_1)∆_1 A+f(x_2,y_2)∆_2 A+⋯+⋯+f(x_n,y_n)∆_n A 〗
Sekarang tentukan diameter dari sub daerah yang merupakan jark terbesar antara 2 titik sembarang di dalam atau pada batas sub daerah,dengan λn adalah diameter maksimum dari sub daerah.
Misalkan banyaknya sub daerah makin besar diartikan n ∞ maka λn 0
Maka integral lipat dua dari fungsi f(x,y)atas daerah R didfinisikan sebagai
∬▒〖f(x,y)dA=〗 lim┬(n→∞)∑_(k=1)^n▒f(xk,yk ) ∆k A
Bila z = f(x,y) non negative atas daerah R,sebagai dalam gambar 6.2 diatas,integral lipat dua(2)bisa diartikan sebagai volume .Sembarang suku f(Xk,Yk ) ∆k A dari (1) memberikan volume dari kolom vertical yang alasnya ∆k A dan tingginya adalah zk.yang diukur sepanjang vertical dari titik Pk yang dipilih sampai permulaan z=f{(x,y)}
Jadi persamaan (1) adalah volume-volume pendekatan kolom vertical yang alasnya Rk dibawah dan atasnya adalah permukaan yang proyeksinya Rk.Persamaan (2) adalah ukuran dari volume dari sub-sub daerah.
Misalkan f(x,y)didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xy(gambar 9.1).Bagilah R dalam n daerah bagian ∆Rk yang masing-masing luasnya ∆Ak,k=1,2,…,n.Misalkan (ε_k,nk)adalah suatu titik pada ∆Rk.Bentuklah jumlah
∑_(k=1)^n▒f(ε_k n_k) ∆Ak
Perhatikanlah
lim┬(n→∞)∑_(k=1)^n▒〖f(ε_k n_k) 〗 ∆Ak
Dimana limit ini diambil agar banyaknya daerah bagian nmembesar tanpa batas sehingga dimensi linier terbesar dari setiap Rk mendekati nol.Jika limit ini ada,dinyatakan dengan
∫_R▒∫▒f(x,y)dA
Dan dinamakan integral lipat dua (integral ganda/double integral) dari f(x,y) pada daerah R.
Dapat dibuktikan bahwa limit ini ada jika f(x,y) kontinu (atau kontinu bagian demi bagian) pada R.
PEMAKAIAN INTEGRAL LIPAT DUA
Menghitung volume antara permukaan z=f(x,y) dan bidang xy
RUMUS
V=∫_R▒∫▒〖f(x,y)dx dy〗
Menghitung luas daerah di bidang xy dimana f(x,y)=1
RUMUS
L=∫_R▒∫▒〖dx dy〗
Menghitung massa
F dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas)
RUMUS
M=∫_R▒∫▒〖f(x,y)dx dy〗
Menghitung pusat massa
F=massa jenis
M=massa dari pelat tipis dan
(x,y)=pusat massa di R
Maka:
M x= ∫_R▒〖∫▒x f(x,y)〗 dx dy
My=∫_R▒〖∫▒y f(x,y)〗 dx dy
Menghitung Momn Inersia
Momen inersia dari plat tipis terhadap sb.x dan sb.y diberikan dengan
Ix=∫_R▒∫▒〖y^2 f(x,y)dx dy ; 〗
Iy=∫_R▒∫▒〖x^2 f(x,y)dx dy ; 〗
TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN
1. Teknik Subtitusi
a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu
Teorema :
Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka f(g(x))g’(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Contoh :
Hitunglah .
Jawab : Misalkan u = = x1/2 sehingga du = dx maka
= 2 = 2 = 2cosu + c = 2cos + c
b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.
Teorema :
Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka
Contoh :
Hitung
Jawab :
Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi
=
= =
2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri
a. sin n x dx, cos n x dx
Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1.
Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut
sin 2 x = , cos 2 x =
Contoh :
1. cos 4 x dx = = (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx
= dx + cos 2x (2) dx + (1 + cos 4x) dx
= x + sin 2x + sin 4x + c
b. sin m x cos n x dx
Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut.
Contoh :
Tentukan : 1. sin 3 x cos –4 x dx 2. sin 2 x cos 4 x dx
c. tg n x dx, cotg n x dx.
Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg.
Contoh :
cotg 4 x dx = cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx = cotg 2 x cosec 2 x dx – cotg 2 x dx = - cotg 2 x d(cotg x) - (cosec 2 x – 1) dx = - cotg 3x + cotg x + x + c
d. tg m x sec n x dx, cotg m x cosec n x dx
Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau
cosec 2 x.
Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.
Contoh :
Tentukan : 1. tg –3/2 x sec 4 x dx 2. tg 3 x sec –1/2 x dx
e. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx.
Gunakan kesamaan :
sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x]
sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x]
cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]
Contoh :
sin 2x cos 3x dx = 1/2 sin 5x + sin (-x) dx
= 1/10 sin 5x d(5x) – ½ sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.
3. Pengintegralan Parsial
Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.
Contoh :
1.
Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex
= = xex –ex + c
4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).
a. Fungsi Integran yang memuat bentuk
Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u =
Contoh : Hitung
Jawab : Misalkan u = maka = x – 4 dan 3 du = dx
Shg =
b. Integran yang memuat bentuk
Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t.
Contoh :
1. Tentukan
Jawab :
Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan = 2 cos t , shg = = - ctg t – t + c
=
5. Integral Fungsi Rasional
Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :
, P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0
Fungsi Rasional dibedakan atas :
a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.
b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.
Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.
Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana
Contoh :
a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda
Contoh :
Tentukan
Jawab :
maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B = , dan C = sehingga
=
= - ln
b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang
Contoh :
Tentukan
Jawab :
maka x = A(x-3) + B
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan
diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga
Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor dalam penyebut, maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :
c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda
Contoh :
Tentukan
Jawab :
Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.
a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu
Teorema :
Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka f(g(x))g’(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Contoh :
Hitunglah .
Jawab : Misalkan u = = x1/2 sehingga du = dx maka
= 2 = 2 = 2cosu + c = 2cos + c
b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.
Teorema :
Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka
Contoh :
Hitung
Jawab :
Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi
=
= =
2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri
a. sin n x dx, cos n x dx
Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1.
Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut
sin 2 x = , cos 2 x =
Contoh :
1. cos 4 x dx = = (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx
= dx + cos 2x (2) dx + (1 + cos 4x) dx
= x + sin 2x + sin 4x + c
b. sin m x cos n x dx
Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut.
Contoh :
Tentukan : 1. sin 3 x cos –4 x dx 2. sin 2 x cos 4 x dx
c. tg n x dx, cotg n x dx.
Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg.
Contoh :
cotg 4 x dx = cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx = cotg 2 x cosec 2 x dx – cotg 2 x dx = - cotg 2 x d(cotg x) - (cosec 2 x – 1) dx = - cotg 3x + cotg x + x + c
d. tg m x sec n x dx, cotg m x cosec n x dx
Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau
cosec 2 x.
Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.
Contoh :
Tentukan : 1. tg –3/2 x sec 4 x dx 2. tg 3 x sec –1/2 x dx
e. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx.
Gunakan kesamaan :
sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x]
sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x]
cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]
Contoh :
sin 2x cos 3x dx = 1/2 sin 5x + sin (-x) dx
= 1/10 sin 5x d(5x) – ½ sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.
3. Pengintegralan Parsial
Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.
Contoh :
1.
Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex
= = xex –ex + c
4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).
a. Fungsi Integran yang memuat bentuk
Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u =
Contoh : Hitung
Jawab : Misalkan u = maka = x – 4 dan 3 du = dx
Shg =
b. Integran yang memuat bentuk
Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t.
Contoh :
1. Tentukan
Jawab :
Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan = 2 cos t , shg = = - ctg t – t + c
=
5. Integral Fungsi Rasional
Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :
, P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0
Fungsi Rasional dibedakan atas :
a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.
b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.
Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.
Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana
Contoh :
a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda
Contoh :
Tentukan
Jawab :
maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B = , dan C = sehingga
=
= - ln
b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang
Contoh :
Tentukan
Jawab :
maka x = A(x-3) + B
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan
diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga
Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor dalam penyebut, maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :
c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda
Contoh :
Tentukan
Jawab :
Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.
INTERGAL TAK TENTU
Definisi :
Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika F’(x) = f(x) untuk semua x di I. Notasi : F(x) = f(x) dx
Integral tak tentu adalah Anti/Invers/Kebalikan turunan.
Contoh :
Integral tak tentu adalah operator linear, yaitu bersifat :
1. =
2. = +
Rumus-rumus Dasar Integral Tak Tentu
1. , n ≠ - 1 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13.
Contoh :
Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika F’(x) = f(x) untuk semua x di I. Notasi : F(x) = f(x) dx
Integral tak tentu adalah Anti/Invers/Kebalikan turunan.
Contoh :
Integral tak tentu adalah operator linear, yaitu bersifat :
1. =
2. = +
Rumus-rumus Dasar Integral Tak Tentu
1. , n ≠ - 1 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13.
Contoh :
INTERGAL TENTU
Definisi :
Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada [a,b] jika ada, selanjutnya disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan
= .
menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.
Definisi :
= 0
= - , a > b
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :
Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka
= F(b) – F(a)
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) =
Contoh :
1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka
Jawab :
Karena F(x) = suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut TDK,
Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :
Misal f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan
f + g terintegralkan, dengan
1. k
2. = +
Contoh :
Hitung
Jawab :
= 4
= 4 = 12
Sifat-Sifat Integral Tentu
1. Sifat Penambahan Selang
Teorema :
Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka
= + bagaimanapun urutan a, b dan c.
Contoh :
1. 2.
3.
2. Sifat Simetri
Teorema :
Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka = 2 dan
Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka = 0.
Contoh :
1.
2. = 0
Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada [a,b] jika ada, selanjutnya disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan
= .
menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.
Definisi :
= 0
= - , a > b
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :
Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka
= F(b) – F(a)
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) =
Contoh :
1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka
Jawab :
Karena F(x) = suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut TDK,
Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :
Misal f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan
f + g terintegralkan, dengan
1. k
2. = +
Contoh :
Hitung
Jawab :
= 4
= 4 = 12
Sifat-Sifat Integral Tentu
1. Sifat Penambahan Selang
Teorema :
Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka
= + bagaimanapun urutan a, b dan c.
Contoh :
1. 2.
3.
2. Sifat Simetri
Teorema :
Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka = 2 dan
Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka = 0.
Contoh :
1.
2. = 0
Langganan:
Postingan (Atom)