INTERGAL LIPAT 2

Pandang suatu fungsi z=f(x,y) yang kontinu pada daerah hingga R dibidang XOY.Misalkan daerah ini dibagi atas n buah sub (bagian) daerah daerah R₁,R₂…Rn masing-masing luasnya ∆₁A,∆2A₂…∆nA.

Dalam setiap sub daerah pilih suatu titik Pk (Xk,Yk ) dan bentuk jumlah

∑_(k=1)^n▒〖f(X_k,Y_k)∆_k A=f(x_1,y_1)∆_1 A+f(x_2,y_2)∆_2 A+⋯+⋯+f(x_n,y_n)∆_n A 〗

Sekarang tentukan diameter dari sub daerah yang merupakan jark terbesar antara 2 titik sembarang di dalam atau pada batas sub daerah,dengan λn adalah diameter maksimum dari sub daerah.

Misalkan banyaknya sub daerah makin besar diartikan n ∞ maka λn 0
Maka integral lipat dua dari fungsi f(x,y)atas daerah R didfinisikan sebagai

∬▒〖f(x,y)dA=〗 lim┬(n→∞)⁡∑_(k=1)^n▒f(xk,yk ) ∆k A





Bila z = f(x,y) non negative atas daerah R,sebagai dalam gambar 6.2 diatas,integral lipat dua(2)bisa diartikan sebagai volume .Sembarang suku f(Xk,Yk ) ∆k A dari (1) memberikan volume dari kolom vertical yang alasnya ∆k A dan tingginya adalah zk.yang diukur sepanjang vertical dari titik Pk yang dipilih sampai permulaan z=f{(x,y)}

Jadi persamaan (1) adalah volume-volume pendekatan kolom vertical yang alasnya Rk dibawah dan atasnya adalah permukaan yang proyeksinya Rk.Persamaan (2) adalah ukuran dari volume dari sub-sub daerah.

Misalkan f(x,y)didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xy(gambar 9.1).Bagilah R dalam n daerah bagian ∆Rk yang masing-masing luasnya ∆Ak,k=1,2,…,n.Misalkan (ε_k,nk)adalah suatu titik pada ∆Rk.Bentuklah jumlah
∑_(k=1)^n▒f(ε_k n_k) ∆Ak
Perhatikanlah
lim┬(n→∞)⁡∑_(k=1)^n▒〖f(ε_k n_k) 〗 ∆Ak


Dimana limit ini diambil agar banyaknya daerah bagian nmembesar tanpa batas sehingga dimensi linier terbesar dari setiap Rk mendekati nol.Jika limit ini ada,dinyatakan dengan
∫_R▒∫▒f(x,y)dA
Dan dinamakan integral lipat dua (integral ganda/double integral) dari f(x,y) pada daerah R.
Dapat dibuktikan bahwa limit ini ada jika f(x,y) kontinu (atau kontinu bagian demi bagian) pada R.

PEMAKAIAN INTEGRAL LIPAT DUA

Menghitung volume antara permukaan z=f(x,y) dan bidang xy
RUMUS
V=∫_R▒∫▒〖f(x,y)dx dy〗
Menghitung luas daerah di bidang xy dimana f(x,y)=1
RUMUS
L=∫_R▒∫▒〖dx dy〗
Menghitung massa
F dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas)
RUMUS
M=∫_R▒∫▒〖f(x,y)dx dy〗
Menghitung pusat massa
F=massa jenis
M=massa dari pelat tipis dan
(x,y)=pusat massa di R

Maka:
M x= ∫_R▒〖∫▒x f(x,y)〗 dx dy
My=∫_R▒〖∫▒y f(x,y)〗 dx dy
Menghitung Momn Inersia
Momen inersia dari plat tipis terhadap sb.x dan sb.y diberikan dengan

Ix=∫_R▒∫▒〖y^2 f(x,y)dx dy ; 〗
Iy=∫_R▒∫▒〖x^2 f(x,y)dx dy ; 〗