TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

1. Teknik Subtitusi
a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu

Teorema :
Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka f(g(x))g’(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c

Contoh :
Hitunglah .
Jawab : Misalkan u = = x1/2 sehingga du = dx maka
= 2 = 2 = 2cosu + c = 2cos + c

b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.

Teorema :
Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka

Contoh :
Hitung

Jawab :

Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi
=
= =


2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri

a. sin n x dx, cos n x dx
Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1.
Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut
sin 2 x = , cos 2 x =
Contoh :
1. cos 4 x dx = = (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx
= dx + cos 2x (2) dx + (1 + cos 4x) dx
= x + sin 2x + sin 4x + c
b. sin m x cos n x dx
Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut.
Contoh :
Tentukan : 1. sin 3 x cos –4 x dx 2. sin 2 x cos 4 x dx

c. tg n x dx, cotg n x dx.
Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg.

Contoh :
cotg 4 x dx = cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx = cotg 2 x cosec 2 x dx – cotg 2 x dx = - cotg 2 x d(cotg x) - (cosec 2 x – 1) dx = - cotg 3x + cotg x + x + c

d. tg m x sec n x dx, cotg m x cosec n x dx
Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau
cosec 2 x.
Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.

Contoh :
Tentukan : 1. tg –3/2 x sec 4 x dx 2. tg 3 x sec –1/2 x dx

e. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx.
Gunakan kesamaan :
sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x]
sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x]
cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]

Contoh :
sin 2x cos 3x dx = 1/2 sin 5x + sin (-x) dx
= 1/10 sin 5x d(5x) – ½ sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.

3. Pengintegralan Parsial
Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.


Contoh :
1.

Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex
= = xex –ex + c


4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).
a. Fungsi Integran yang memuat bentuk
Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u =

Contoh : Hitung
Jawab : Misalkan u = maka = x – 4 dan 3 du = dx
Shg =
b. Integran yang memuat bentuk
Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t.
Contoh :
1. Tentukan
Jawab :
Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan = 2 cos t , shg = = - ctg t – t + c
=
5. Integral Fungsi Rasional
Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :
, P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0

Fungsi Rasional dibedakan atas :
a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.
b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.

Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.

Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana
Contoh :


a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda
Contoh :
Tentukan
Jawab :



maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B = , dan C = sehingga

=
= - ln

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang
Contoh :
Tentukan
Jawab :
maka x = A(x-3) + B
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan
diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga


Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor dalam penyebut, maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :


c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda
Contoh :
Tentukan
Jawab :

Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.